Computational Homogenization of Heterogeneous Materials with Finite Elements

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<div>1.1 Why computational homogenization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</div><div>1.2 Brief historical and recent advances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</div><div>1.3 Industrial applications and use in commercial softwares . . . . . . . . . . 3</div><div>1.4 Position of the present monograph as compared to available other</div><div>books on that topic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</div><div>1.5 Overview and conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</div><div>2 Review of classical FEM formulations and discretizations . . . . . . . . . . . 5</div><div>2.1 Steady-state thermal problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</div><div>2.1.1 Strong form of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</div><div>2.1.2 Weak forms of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</div><div>2.1.3 2D FEM discretization with linear elements . . . . . . . . . . . . . . 7</div><div>2.1.4 Assembly of the elementary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</div><div>2.1.5 Prescribing Dirichlet conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</div><div>2.2 Linear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</div><div>2.2.1 Strong form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</div><div>2.2.2 Weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</div><div>2.2.3 2D discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</div><div>2.2.4 Assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</div><div>3 Conduction properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</div><div>3.1 The notion of RVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</div><div>3.2 Localization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</div><div>3.3 Averaged quantities and Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</div><div>3.3.1 Averaging theorem: temperature gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 31</div><div>3.3.2 Averaging theorem: heat flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</div><div>3.3.3 Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</div><div>3.4 Computation of the effective conductivity tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 33</div><div>3.4.1 The superposition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</div><div>3.4.2 Definition of the effective conductivity tensor . . . . . . . . . . . . 34</div><div>v</div><div>vi Contents</div><div>3.5 Periodic boundary conditions for the thermal problem: numerical</div><div>implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</div><div>3.6 Numerical calculation of effective conductivity with 2D FEM . . . . . 39</div><div>3.6.1 Transverse effective conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</div><div>3.6.2 Computation of the out-of plane properties using a 2D RVE 41</div><div>3.7 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43</div><div>4 Elasticity and thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</div><div>4.1 Localization problem for elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</div><div>4.2 Averaged quantities and Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</div><div>4.2.1 Averaging theorem: strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</div><div>4.2.2 Averaging theorem : stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</div><div>4.3 Definition of the effective elastic tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</div><div>4.3.1 Strain approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</div><div>4.3.2 Stress approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</div>4.4 Computations of the effective properties with FEM . . . . . . . . . . . . . . 55<div>4.4.1 2D case: transverse effective properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</div><div>4.4.2 Computation of out-of-plane elastic properties using a 2D</div><div>RVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</div><div>4.4.3 Full 3D case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</div>4.5 Periodic boundary conditions for 2D elastic problem: practical<div>implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</div><div>4.6 Extension to thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64</div><div>4.7 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</div><div>5 Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</div><div>6 Porous media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</div><div>7 Second-order linear homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</div><div>8 Filter-based homogenization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</div><div>9 Nonlinear Computational Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</div><div>References</div>