Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme

Einführung.- I. Verstehen der Aufgabe.- „Mache Dir eine sorgfältige, übersichtliche Figur!“.- „Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus!“.- „Prüfe sorgfältig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt!“.- „Prüfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist!“.- II. Entwerfen des Lösungsplans.- Allgemeines.- Das funktionale Denken.- Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie.- Die Auswertung einer Analogie.- Der Sinn einer Lösung.- Allgemeine Richtlinien für einen Lösungsplan.- § 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur.- 1. Beispiel. Flächenverhältnis zweier Dreiecke — 2 Lösungen.- 2. Beispiel. Satz des Menelaos — 2 Lösungen.- 3. Beispiel. Satz des Ceva — 2 Lösungen.- 4. Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis.- 5. Beispiel. Satz des Pappus.- 6. Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch die Schenkel eines Peripheriewinkels — 4 Lösungen.- 7. Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripels gleichseitiger Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreiecks — 2 Lösungen und Erweiterung.- 8. Beispiel. Satz des Ptolemäus und Erweiterung des Satzes von Simson — 2 Lösungen.- 9. Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes gegebenes.- 10. Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante Lösung — 3 Lösungen.- 11. Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Auswertung einer formalen Analogie.- 12. Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lösung.- Zusammenfassung von § 1.- Beweggründe zum Ziehen von Hilfslinien.- § 2: Die dynamische Erkundung einer Figur.- Allgemeines dazu.- 13. Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in einen andern an einer gegebenen Geraden — 3 Lösungen. Sinn einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.- 14. Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck einbeschrieben (Fejer).- 15. Beispiel. Neue Lösung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu.- 16. Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lösung.- 17. Beispiel. a) Problem des Apollonius. Zweite Lösung.- 17. Beispiel. b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lösungen.- 18. Beispiel. Die Drehstreckung.- Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks — 2 Lösungen.- Transversale vorgegebenen Teilverhältnisses durch vier gegebene Gerade.- Neue Lösung zu Beispiel 9.- Zweite Art von Drehstreckung.- 19. Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen Geraden parallel sein.- 20. Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhältnis durch gegebenen Punkt — 6 Lösungen.- 21. Beispiel. Verwandlung eines Vierecks.- 22. Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben — 2 Lösungen.- 23. Beispiel. Dritte Lösung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben durch stetige Überführung.- 24. Beispiel. Das Kriterium für Gemeinsamkeit des Schwerpunkts zweier Dreiecke — 2 Lösungen.- 25. Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya-----:.- Zusammenfassung zu § 2.- Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall.- Spezialfälle vom Rang einer vollkommenen Analogie.- Sonstige Abänderungsmöglichkeiten einer Figur.- Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder Problemlösung.- 26. Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gegebenen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe.- §3: „Ändere das Problem ab!“.- 27. Beispiel. Lösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten.- 28. Beispiel. Diophantische Gleichung.- 29. Beispiel. Lösung der Gleichung vierten Grades.- 30. Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Höhen —.- 2 Lösungen.- 31. Beispiel. Konstruktion eines Schnenvierecks aus seinen vier Seiten.- 32. Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen gleicher gegebener Größe auf der dritten eine andere Sehne gegebener Länge ausschneiden.- 33. Beispiel. I. Drei von einem Punkt ausgehende Strahlen sollen einen gesuchten Kreis in einem Durchmesser und zwei Sehnen gegebener Länge schneiden.- II. Eine Strecke auf einer gegebenen Geraden soll von zwei gegebenen Punkten aus unter gegebenem Winkel erscheinen.- 34. Beispiel. Einem gegebenen Kreise ein Sehnenviereck aus zwei gegebenen Gegenseiten und der Summe der beiden andern ein-zubeschreiben.- 35. Beispiel. Eine Transversale in einem Dreieck ist so lang wie jeder der beiden „untern“ Abschnitte auf den begrenzenden Seiten.- 36. Beispiel. Aufgabe über elliptisches Kreisbüschel — 2 Lösungen.- 37. Beispiel. Satz von Desargues.- 38. Beispiel. Tangente und Fläche einer Ellipse durch Projektion eines Kreises.- Zentralprojektion, allgemeine Abbildung und Inversion.- 39. Beispiel. Steinerscher Schließungssatz.- 40. Beispiel. Grenzbetrachtung zu 30. Beispiel.- Die geometrische Deutung arithmetischer Verhältnisse.- 41. Beispiel. Die Gleichung: a cos ? + b sin ? - c = 0 - 2 Lösungen.- 42. Beispiel. Lage der komplexen Nullstellen der Ableitung einer ganzen algebraischen Funktion.- Zusammenstellung zu § 3.- § 4: „Löse geometrische Probleme auf algebraischem Wege“.- Allgemeines.- Die Aufstellung von Gleichungen.- Die Lösung mit Zirkel und Lineal.- 43. Beispiel. Vierte Lösung zu Beispiel 7.- 44. Beispiel. Verallgemeinerung des 11. Beispiels.- 45. Beispiel. Dreieck aus seinen drei Winkelhalbierenden.- III. Durchführung des Lösungsplans, Rückblick, Ausblick.