Analysis 1

<P>Inhaltsverzeichnis</P>
<P>1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1</P>
<P>1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</P>
<P>1.1.1 Bindew¨orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</P>
<P>1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</P>
<P>1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</P>
<P>1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</P>
<P>1.1.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</P>
<P>1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5</P>
<P>1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</P>
<P>1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</P>
<P>1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</P>
<P>1.2.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</P>
<P>1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</P>
<P>1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12</P>
<P>1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17</P>
<P>1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18</P>
<P>1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20</P>
<P>1.3.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</P>
<P>1.4 Erg¨anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</P>
<P>1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27</P>
<P>1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</P>
<P>1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31</P>
<P>1.4.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</P>
<P>2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</P>
<P>2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38</P>
<P>2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38</P>
<P>2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42</P>
<P>2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46</P>
<P>2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</P>
<P>2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49</P>
<P>XVI Inhaltsverzeichnis</P>
<P>2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</P>
<P>2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</P>
<P>2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim</P>
<P>Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</P>
<P>2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</P>
<P>2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</P>
<P>2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</P>
<P>2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</P>
<P>2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</P>
<P>2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</P>
<P>2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</P>
<P>2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</P>
<P>2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</P>
<P>2.4.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</P>
<P>3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83</P>
<P>3.1 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84</P>
<P>3.1.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84</P>
<P>3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . 86</P>
<P>3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . 90</P>
<P>3.1.4 Elementares zu Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99</P>
<P>3.1.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</P>
<P>3.2 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</P>
<P>3.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</P>
<P>3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . 116</P>
<P>3.2.3 Grenzwert auf einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132</P>
<P>3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 137</P>
<P>3.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153</P>
<P>4 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157</P>
<P>4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157</P>
<P>4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . 157</P>
<P>4.1.2 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162</P>
<P>4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165</P>
<P>4.2.1 Lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165</P>
<P>4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 167</P>
<P>4.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176</P>
<P>5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181</P>
<P>5.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181</P>
<P>5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen . . . . . . . 181</P>
<P>5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . 186</P>
<P>5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der</P>
<P>Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189</P>
<P>5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192</P>
<P>Inhaltsverzeichnis XVII</P>
<P>5.1.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194</P>
<P>5.1.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200</P>
<P>5.2 Wichtige Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201</P>
<P>5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen . . . . . . . . 201</P>
<P>5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) 205</P>
<P>5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 208</P>
<P>5.2.4 Ableitungstabelle der Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 213</P>
<P>5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion 213</P>
<P>5.2.6 Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218</P>
<P>5.2.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222</P>
<P>5.3 Die zentralen S¨atze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 223</P>
<P>5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle . . . . . . . . . . 223</P>
<P>5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy. . . . . . . . . . 225</P>
<P>5.3.3 Die Taylorschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229</P>
<P>5.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242</P>
<P>5.4 Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen . . . . . . . 246</P>
<P>5.4.1 Bedingungen f¨ur die Monotonie einer Funktion . . . . . . . . 246</P>
<P>5.4.2 Bedingungen f¨ur ein inneres Extremum einer Funktion . 247</P>
<P>5.4.3 Bedingungen f¨ur die Konvexit¨at einer Funktion . . . . . . . 253</P>
<P>5.4.4 Die Regel von L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261</P>
<P>5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen . . . . . . . 263</P>
<P>5.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272</P>
<P>5.5 Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 276</P>
<P>5.5.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276</P>
<P>5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern . . 280</P>
<P>5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 285</P>
<P>5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung . . . . . . 288</P>
<P>5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des K¨orpers C . . . . . . . . 293</P>
<P>5.5.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300</P>
<P>5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften . 301</P>
<P>5.6.1 Bewegung eines K¨orpers mit ver¨anderlicher Masse . . . . . 302</P>
<P>5.6.2 Die barometrische H¨ohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304</P>
<P>5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . 306</P>
<P>5.6.4 In der Atmosph¨are fallende K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308</P>
<P>5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x . . . . . . . . . . . 310</P>
<P>5.6.6 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313</P>
<P>5.6.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316</P>
<P>5.7 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320</P>
<P>5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral . . . . . . 321</P>
<P>5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer</P>
<P>Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323</P>
<P>5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 329</P>
<P>5.7.4 Stammfunktionen der Form R R(cos x, sin x) dx . . . . . . . . 333</P>
<P>5.7.5 Stammfunktionen der Form R R(x, y(x)) dx . . . . . . . . . . . 335</P>
<P>5.7.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338</P>
<P>XVIII Inhaltsverzeichnis</P>
<P>6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345</P>
<P>6.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345</P>
<P>6.1.1 Problemstellung und einf¨uhrende Betrachtungen . . . . . . 345</P>
<P>6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 347</P>
<P>6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . 349</P>
<P>6.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363</P>
<P>6.2 Linearit¨at, Additivit¨at und Monotonie des Integrals . . . . . . . . . . 365</P>
<P>6.2.1 Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] 365</P>
<P>6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion . . . . . . . . 365</P>
<P>6.2.3 Absch¨atzung, Monotonie und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . 368</P>
<P>6.2.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376</P>
<P>6.3 Das Integral und die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377</P>
<P>6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 377</P>
<P>6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung 380</P>
<P>6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . 381</P>
<P>6.3.4 ¨Anderung der Variablen in einem Integral . . . . . . . . . . . . 383</P>
<P>6.3.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385</P>
<P>6.3.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390</P>
<P>6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393</P>
<P>6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral . . . . . . . . . 393</P>
<P>6.4.2 Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395</P>
<P>6.4.3 Die Fl¨ache eines krummlinigen Trapezes . . . . . . . . . . . . . . 402</P>
<P>6.4.4 Volumen eines Drehk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404</P>
<P>6.4.5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404</P>
<P>6.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411</P>
<P>6.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413</P>
<P>6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften . . . . . . . 413</P>
<P>6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals . . . . . . . . . . . . 418</P>
<P>6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularit¨at . 425</P>
<P>6.5.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428</P>
<P>7 Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431</P>
<P>7.1 Der Raum Rm und seine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432</P>
<P>7.1.1 Die Menge Rm und der Abstand in dieser Menge . . . . . . 432</P>
<P>7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . 433</P>
<P>7.1.3 Kompakte Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436</P>
<P>7.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438</P>
<P>7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler . 438</P>
<P>7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438</P>
<P>7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 444</P>
<P>7.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449</P>
<P>Inhaltsverzeichnis XIX</P>
<P>8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler . . . 451</P>
<P>8.1 Die lineare Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451</P>
<P>8.1.1 Rm als Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451</P>
<P>8.1.2 Lineare Transformationen L : Rm ! Rn . . . . . . . . . . . . . . 452</P>
<P>8.1.3 Die Norm in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453</P>
<P>8.1.4 Die euklidische Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455</P>
<P>8.2 Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . 456</P>
<P>8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt . 456</P>
<P>8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten . . 457</P>
<P>8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung . . . . 460</P>
<P>8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem</P>
<P>Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461</P>
<P>8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 462</P>
<P>8.3.1 Linearit¨at der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462</P>
<P>8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) . . . . . . 465</P>
<P>8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470</P>
<P>8.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472</P>
<P>8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478</P>
<P>8.4.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478</P>
<P>8.4.2 Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Differenzierbarkeit 480</P>
<P>8.4.3 Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 481</P>
<P>8.4.4 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484</P>
<P>8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 486</P>
<P>8.4.6 Einige geometrische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493</P>
<P>8.4.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497</P>
<P>8.5 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504</P>
<P>8.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504</P>
<P>8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . 506</P>
<P>8.5.3 ¨Ubergang zur Gleichung F(x1, . . . , xm, y) = 0 . . . . . . . . . 510</P>
<P>8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513</P>
<P>8.5.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518</P>
<P>8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . 522</P>
<P>8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522</P>
<P>8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . 527</P>
<P>8.6.3 Funktionale Abh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532</P>
<P>8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . 534</P>
<P>8.6.5 Das Morse-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537</P>
<P>8.6.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540</P>
<P>8.7 Fl¨achen in Rn und bedingte Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542</P>
<P>8.7.1 k-dimensionale Fl¨achen in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542</P>
<P>8.7.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547</P>
<P>8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552</P>
<P>8.7.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565</P>
<P>XX Inhaltsverzeichnis</P>
<P>Einige Aufgaben aus den Halbjahrespr¨ufungen . . . . . . . . . . . . . . . . 571</P>
<P>1. Einf¨uhrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) . . . . . . 571</P>
<P>2. Differentialrechnung in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572</P>
<P>3. Integration und Einf¨uhrung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . 574</P>
<P>4. Differentialrechnung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575</P>
<P>Pr¨ufungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579</P>
<P>1. Erstes Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579</P>
<P>1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen . . . . 579</P>
<P>2. Zweites Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581</P>
<P>2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen . 581</P>
<P>Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585</P>
<P>1. Klassische Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585</P>
<P>1.1 Orginalquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585</P>
<P>1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke . . . . . . . . . . . . . . . 585</P>
<P>1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten H¨alfte</P>
<P>des 20. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585</P>
<P>2. Lehrb¨ucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586</P>
<P>3. Studienunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586</P>
<P>4. Weiterf¨uhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587</P>
<P>Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589</P>
<P>Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591</P>