Analysis 1

1. Elementare reelle Funktionen.- 1.1 Grundlagen.- 1.1.1 Der reelle Zahlenkörper.- 1.1.2 Der binomische Satz.- 1.1.3 Ungleichungen.- 1.1.4 Der absolute Betrag.- 1.2 Reelle Funktionen.- 1.2.1 Begriff. Darstellungsformen.- 1.2.2 Symmetrieeigenschaften.- 1.2.3 Kongruente Verschiebung. Affine Stauchung.- 1.2.4 Schranken. Nullstellen.- 1.2.5 Umkehrfunktionen.- 1.3 Polynome.- 1.3.1 Polynombegriff. Polynomwerte. Polynom Verknüpfungen.- 1.3.2 PolynomumOrdnung. Vollständiges Horner-Schema.- 1.3.3 Polynomgleichungen: Lösungen.- 1.3.4 Polynomgleichungen: Lösungsverfahren.- 1.3.5 Interpolationspolynome.- 1.3.6 Stellenwertsysteme.- 1.4 Gebrochen-rationale Funktionen.- 1.4.1 Charakteristische Merkmale.- 1.4.2 Partialbruchzerlegung von Polynombrüchen.- 1.5 Algebraische Funktionen.- 1.6 Kreis-und Bogenfunktionen.- 1.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen.- 1.8 Hyperbel-und Areafunktionen.- 1.9 Funktionspapiere.- 2. Komplexwertige Funktionen.- 2.1 Einführung.- 2.2 Die komplexe Gerade.- 2.3 Die Inversion der Geraden.- 2.4 Der Allgemeine Kreis.- 3. Differentialrechnung.- 3.1 Grenzwerte.- 3.1.1 Konvergente Zahlenfolgen.- 3.1.2 Grenzwerte von Funktionen.- 3.1.3 Stetigkeit von Funktionen.- 3.2 Der Begriff der Ableitungsfunktion.- 3.2.1 Die Ableitungsfunktion als Steigungsfunktion.- 3.2.2 Die Ableitung als Grenzwert.- 3.2.3 Bestimmung von Ableitungsfunktionen.- 3.3 Formale Ableitungsrechnung.- 3.3.1 Konstanten-, Faktor-und Summenregel.- 3.3.2 Die Potenzregel für ganze positive Exponenten.- 3.3.3 Produkt-und Quotientenregel.- 3.3.4 Ableitungen höherer Ordnung.- 3.3.5 Die Kettenregel.- 3.3.6 Ableitung der Kreisfunktionen.- 3.3.7 Ableitung der Bogenfunktionen.- 3.3.8 Ableitung von Logarithmus-und Exponentialfunktion.- 3.3.9 Logarithmisches Ableiten.- 3.3.10 Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen.- 3.4 Differentiale. Differentialquotienten. Differentialoperatoren.- 3.4.1 Der Begriff des Differentials.- 3.4.2 Rechnen mit Differentialen.- 3.4.3 Der Differentialquotient.- 3.4.4 Differentialoperatoren.- 3.5 Kurvenuntersuchungen.- 3.5.1 Steigen und Fallen. Extrempunkte.- 3.5.2 Links-und Rechtskurven. Wendepunkte.- 3.5.3 Sonstige geometrische Eigenschaften.- 3.5.4 Untersuchung algebraischer Funktionen.- 3.5.5 Untersuchung transzendenter Funktionen.- 3.5.6 Angewandte Maxima-und Minimaaufgaben.- 3.6 Weitere Anwendungen der Differentialrechnung.- 3.6.1 Tangenten und Tangentenabschnitte.- 3.6.2 Linearisierung von Funktionen.- 3.6.3 Der Mittelwertsatz.- 3.6.4 Grenzwertbestimmung mit der Regel von Bernoulli und de l’Hospital.- 3.6.5 Das Newtonsche Iterationsverfahren.- 3.7 Funktionen von zwei reellen Veränderlichen.- 3.7.1 Der Funktionsbegriff.- 3.7.2 Analytische Darstellungsformen.- 3.7.3 Geometrische Darstellungsformen.- 3.7.4 Skalare Darstellung durch Leitertafeln.- 3.7.5 Raumkurven.- 3.7.6 Partielle Ableitungen.- 3.7.7 Das totale (vollständige) Differential.- 3.7.8 Ableitung impliziter Funktionen.- 3.7.9 Ableiten von Parameter dar Stellungen.- 3.7.10 Ableiten von Vektorfunktionen.- 3.7.11 Krümmungskreise und Schmiegungsparabeln.- 3.7.12 Ableiten von Funktionen in Polarkoordinaten.- 4. Anhang: Lösungen der Aufgaben.