Zahlentheorie

1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 1.1 Die natürlichen Zahlen.- 1.2 Der größte gemeinsame Teiler.- 1.3 Vier Regeln zum größten gemeinsamen Teiler.- 1.4 Über die Primzahlen.- 1.5 Kanonische Zerlegung und Teiler.- 1.6 Die Rolle der Primzahlen in ?.- Aufgaben.- 2 Primzahlen und irreduzible Polynome.- 2.1 Das Sieb des Eratosthenes.- 2.2 Über das Wachstum der Primzahlen.- 2.3 Der Fundamentalsatz in Polynomringen.- 2.4 Über Nullstellen und größte gemeinsame Teiler.- 2.5 Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra.- Aufgaben.- 3 Die Restklassenringe von ?.- 3.1 Die Restklassen und ihre Verknüpfungen.- 3.2 Die Eulersche ?-Funktion.- 3.3 Der Chinesische Restsatz.- 3.4 Vielfache und Potenzen.- 3.5 Anwendung auf die prime Restklassengruppe.- Aufgaben.- 4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen.- 4.1 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppen.- Aufgaben.- 5 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 5.1 Beschreibung der Quadrategruppe als Kern.- 5.2 Einführung des Jacobi-Symbols nach Kronecker.- 5.3 Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes.- 5.4 Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol.- 5.5 Quadrate in der primen Restklassengruppe.- Aufgaben.- 6 Gewöhnliche Kettenbrüche.- 6.1 Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus.- 6.2 Möbiustransformationen der projektiven Gerade.- 6.3 Die Kettenbruchentwickiung der Irrationalzahlen.- 6.4 Die Approximationsgüte der Näherungsbrüche.- 6.5 Periodische Kettenbrüche.- 6.6 Beste Näherungen.- 6.7 Die Farey-Reihe.- Aufgaben.- 7 Quadratische Zahlkörper.- 7.1 Teilkörper von ? als Vektorräume über ?.- 7.2 Gitter und ihre Ordnungen.- 7.3 Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe.- 7.4 Der Automorphismus quadratischer Zahlkörper.- 7.5 Grundeinheiten und Kettenbrüche.- Aufgaben.- 8 Teilbarkeit in Integritätsbereichen.- 8.1 Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre.- 8.2 Faktorielle Ringe.- 8.3 Hauptidealringe.- 8.4 Zahlkörper mit euklidischem Algorithmus.- 8.5 Arithmetik quadratischer Zahlkörper.- Aufgaben.- 9 Die lokalen Körper über ?.- 9.1 Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen.- 9.2 Der p-Betrag und die ultrametrische Ungleichung.- 9.3 Der Körper der p-adischen Zahlen.- 9.4 Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten.- 9.5 Die verschiedenen Beträge des Körpers ?.- Aufgaben.- 10 Das Hilbertsche Normenrestsymbol.- 10.1 Quadratische Erweiterungen p-adischer Körper.- 10.2 Die Normen-Index-Gleichung.- 10.3 Das Hilbert-Symbol als Bilinearform.- 10.4 Produktformel für die lokalen Hilbertsymbole.- Aufgaben.- 11 Elemente der Gruppentheorie.- 11.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen.- 11.2 Torsions-Elemente in abelschen Gruppen.- 11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen.- 11.4 Die symmetrische Gruppe.- 11.5 Exkurs über Gruppenaktionen.- 11.6 Die Sylowschen Sätze.- Aufgaben.- 12 Zahlkörper und ihre Ordnungen.- 12.1 Die Gitter in algebraischen Zahlkörpern.- 12.2 Die Dedekindschen Ordnungen.- 12.3 Die Diskriminante einer Basis.- 12.4 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 12.5 Konstruktion von Zahlkörpern aus Polynomen.- 12.6 Polynome über faktoriellen Ringen.- 12.7 Biquadratische Zahlkörper.- Aufgaben.- 13 Der Fundamentalsatz in Zahlkörpern.- 13.1 Die Gruppe der gebrochenen Ideale.- 13.2 Der allgemeine Chinesische Restsatz.- 13.3 Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkörpern.- 13.4 Zerlegung der Primzahlen in Zahlkörpern.- 13.5 Restklassenrechnen im Ganzheitsring.- 13.6 Relativerweiterungen von Zahlkörpern.- 13.7 Quadrate in quadratischen Zahlkörpern.- Aufgaben.- 14 Endliche Galois-Erweiterungen.- 14.1 Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms.- 14.2 Fortsetzung von Körper-Isomorphismen.- 14.3 Einfache Nullstellen und formale Ableitung.- 14.4 Uber Homomorphismen von Körpern.- 14.5 Der Fixkörper von Automorphismen.- 14.6 Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 14.7 Polynome in Galoiserweiterungen.- 14.8 Automorphismen rationaler Funktionenkörper.- Aufgaben.- 15 Anwendungen der Galois-Theorie.- 15.1 Aktion der Galoisgruppe auf den Wurzeln.- 15.2 Separable Körpererweiterungen.- 15.3 Norm, Spur und Hauptpolynom.- 15.4 Der Verschiebungssatz der Galoistheorie.- 15.5 Adjunktion von Einheitswurzeln.- 15.6 Erweiterungen endlicher Körper.- 15.7 Galoiserweiterungen von Zahlkörpern.- 15.8 Die Hilbertsche Untergruppenkette.- Aufgaben.- 16 DifFerente und Diskriminante.- 16.1 Einführung der Differente eines Zahlkörpers.- 16.2 Über monogene Ordnungen in Zahlkörpern.- 16.3 Der zweite Dedekindsche Hauptsatz.- 16.4 Der dritte Dedekindsche Hauptsatz.- 16.5 Die Resultante zweier Polynome.- 16.6 Eigenschaften der Resultante.- 16.7 Die Diskriminante eines normierten Polynoms.- Aufgaben.- 17 Kreisteilungskörper über ?.- 17.1 Einheitswurzeln von Primzahlpotenzordnung.- 17.2 Der m-te Kreisteilungskörper.- 17.3 Ein Satz zur Fermatschen Vermutung.- 17.4 Zerlegung der Primzahlen in Kreiskörpern.- 17.5 Der Satz von Kronecker und Weber.- Aufgaben.- 18 Geometrie der Zahlen.- 18.1 Der Gitterpunktsatz von Minkowski.- 18.2 Einbettung der Gitter von Zahlkörpern.- 18.3 Schranken für Normen und Diskriminanten.- 18.4 Der Dirichletsche Einheitensatz.- 18.5 Normeuklidische Zahlkörper nach H.W. Lenstra.- 18.6 Ausnahme-Einheiten.- Aufgaben.- 19 Der Dirichletsche Primzahlsatz.- 19.1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen.- 19.2 Dirichlet-Reihen.- 19.3 Logarithmus und unendliche Produkte.- 19.4 Der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.- 19.5 Die Dedekindsche Zetafunktion.- 19.6 Die Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper.- Aufgaben.- 20 Die Bewertungen der Zahlkörper.- 20.1 Komplettierungen.- 20.2 Archimedische und ultrametrische Bewertungen.- 20.3 Fortsetzung von Bewertungen.- 20.4 Beträge und Komplettierungen der Zahlkörper.- 20.5 p-Körper.- 20.6 Erweiterungen von p-Körpern.- Aufgaben.- Anhang: Determinanten.- Aufgaben.- Literatur.