Gewöhnliche Differentialgleichungen

1. Grundbegriffe.- § 1. Phasenräume.- 1. Beispiele für Evolutionsprozesse.- 2. Phasenflüsse.- 3. Intergralkurven im Richtungsfeld.- 4. Eine Differentialgleichung und ihre Lösungen.- 5. Die Evolutionsgleichung mit eindimensionalem Phasenraum.- 6. Beispiel: Die Gleichung der normalen Vermehrung.- 7. Beispiel: Die Explosionsgleichung.- 8. Beispiel: Die logistische Kurve.- 9. Beispiel: Fangquoten.- 10. Beispiel: Der Fang mit relativer Quote.- 11. Gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum.- 12. Beispiel: Die Differentialgleichung eines Räuber-Beute Systems.- 13. Beispiel: Ein freies Teilchen auf der Geraden.- 14. Beispiel: Der freie Fall.- 15. Beispiel: Kleine Schwingungen.- 16. Beispiel: Das mathematische Pendel.- 17. Beispiel: Das umgedrehte Pendel.- 18. Beispiel: Kleine Schwingungen des sphärischen Pendels.- § 2. Vektorfelder auf der Geraden.- 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.- 2. Ein Gegenbeispiel.- 3. Beweis der Eindeutigkeit.- 4. Direkte Produkte.- 5. Beispiele direkter Produkte.- 6. Gleichungen mit trennbaren Veränderlichen.- 7. Beispiel: Das Volterra-Lotka Modell.- § 3. Lineare Gleichungen.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Lineare homogene Gleichungen erster Ordnung mit periodischen Koeffizienten.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die Greensche Funktion und ?-förmige Inhomogenitäten.- 5. Lineare inhomogene Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- § 4. Phasenflüsse.- 1. Die Operation von Gruppen auf einer Menge.- 2. Einparametrige Transformationsgruppen.- 3. Einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen.- 4. Das Vektorfeld der Phasengeschwindigkeit.- § 5. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern und Richtungsfeldern.- 1. Die Operation glatter Abbildungen auf Vektoren.- 2. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern.- 3. Variablensubstitution in einer Gleichung.- 4. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Richtungsfeld.- 5. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Phasenfluß.- § 6. Symmetrien.- 1. Symmetriegruppen.- 2. Anwendung einer einparametrigen Symmetriegruppe zur Integration einer Gleichung.- 3. Homogene Gleichungen.- 4. Quasihomogene Gleichungen.- 5. Ähnlichkeits- und Dimensionsbetrachtungen.- 6. Methoden der Integration von Differentialgleichungen.- 2. Grundlegende Sätze.- § 7. Rektifizierungssätze.- 1. Rektifizierbare Richtungsfelder.- 2. Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 3. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit einer Lösung von den Anfangswerten.- 4. Transformationen in der Zeit von t0 bis t.- 5. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von einem Parameter.- 6. Fortsetzungssätze.- 7. Rektifizierung eines Vektorfeldes.- § 8. Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung.- 1. Die Äquivalenz einer Gleichung n-ter Ordnung zu einem System von n Gleichungen erster Ordnung.- 2. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 3. Differenzierbarkeits- und Fortsetzungssätze.- 4. Systeme von Gleichungen.- 5. Bemerkungen zur Terminologie.- § 9. Phasenkurven eines autonomen Systems.- 1. Autonome Systeme.- 2. Verschiebungen in der Zeit.- 3. Geschlossene Phasenkurven.- § 10. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes und erste Integrale.- 1. Die Ableitung in Richtung eines Vektors.- 2. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes.- 3. Eigenschaften der Richtungsableitung.- 4. Die Liealgebra der Vektorfelder.- 5. Erste Integrale.- 6. Lokale erste Integrale.- 7. Zeitabhängige erste Integrale.- § 11. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Das Cauchyproblem.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die quasilineare Gleichung.- 5. Die Charakteristiken einer quasilinearen Gleichung.- 6. Integration einer quasilinearen Gleichung.- 7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 12. Das konservative System mit einem Freiheitsgrad.- 1. Definitionen.- 2. Der Energieerhaltungssatz.- 3. Energieniveaulinien.- 4. Die Energieniveaulinien in der Nähe singulärer Punkte.- 5. Fortsetzung der Lösungen der Newtonschen Gleichung.- 6. Nichtkritische Energieniveaulinien.- 7. Beweis des Satzes aus Abschnitt 6.- 8. Kritische Niveaulinien.- 9. Ein Beispiel.- 10. Kleine Störungen eines konservativen Systems.- 3. Lineare Systeme.- § 13. Lineare Probleme.- 1. Beispiel: Linearisierung.- 2. Beispiel: Einparametrige Gruppen linearer Transformationen des ?n.- 3. Die lineare Gleichung.- § 14. Die Exponentialfunktion.- 1. Die Norm eines Operators.- 2. Der metrische Raum der Operatoren.- 3. Beweis der Vollständigkeit.- 4. Reihen.- 5. Definition der Exponentialfunktion eA.- 6. Ein Beispiel.- 7. Die Exponentialfunktion für einen diagonalen Operator.- 8. Die Exponentialfunktion für einen nilpotenten Operator.- 9. Quasipolynome.- § 15. Eigenschaften der Exponentialfunktion.- 1. Die Gruppeneigenschaft.- 2. Der Fundamentalsatz der Theorie linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3. Die allgemeine Gestalt einparametriger Gruppen linearer Transformationen des ?n.- 4. Eine zweite Definition der Exponentialfunktion.- 5. Beispiel: Die Eulersche Formel für ez.- 6. Eulersche Polygonzüge.- § 16. Die Determinante des Operators eA.- 1. Die Determinante eines Operators.- 2. Die Spur eines Operators.- 3. Der Zusammenhang zwischen der Determinanten und der Spur.- 4. Die Determinante des Operators eA.- § 17. Praktische Berechnung der Matrixexponentialfunktion: Der Fall reeller paarweise verschiedener Eigenwerte.- 1. Diagonale Operatoren.- 2. Ein Beispiel.- 3. Der diskrete Fall.- § 18. Komplexifizierung und Reellifizierung.- 1. Reellifizierung.- 2. Komplexifizierung.- 3. Die komplexe Konjugation.- 4. Exponentialfunktion, Determinante und Spur eines komplexen Operators.- 5. Die Ableitung einer Kurve mit komplexen Werten.- § 19. Die lineare Gleichung mit komplexen Koeffizienten.- 1. Definitionen.- 2. Der Fundamentalsatz.- 3. Der diagonale Fall.- 4. Beispiel: Eine lineare Gleichung, deren Phasenraum die komplexe Gerade ist.- 5. Ein Korollar.- § 20. Die Komplexifizierung einer reellen Gleichung.- 1. Die komplexifizierte Gleichung.- 2. Invariante Unterräume eines reellen Operators.- 3. Lineare Gleichungen in der Ebene.- 4. Klassifikation singulärer Punkte in der Ebene.- 5. Beispiel: Das Pendel mit Reibung.- 6. Die allgemeine Lösung einer linearen Gleichung im Fall einfacher Wurzeln der charakteristischen Gleichung.- § 21. Klassifikation der singulären Punkte eines linearen Systems.- 1. Beispiel: Singuläre Punkte im dreidimensionalen Raum.- 2. Lineare, differenzierbare und topologische Äquivalenz.- 3. Die lineare Klassifikation.- 4. Die differenzierbare Klassifikation.- § 22. Die topologische Klassifizierung singulärer Punkte.- 1. Ein Satz.- 2. Reduktion auf den Fall m_ = 0.- 3. Die Ljapunovfunktion.- 4. Konstruktion der Ljapunovfunktion.- 5. Eine Abschätzung der Ableitung.- 6. Die Konstruktion des Homöomorphismus h.- 7. Beweis von Lemma 3.- 8. Der Beweis des topologischen Klassifizierungssatzes.- § 23. Stabilität von Gleichgewichtslagen.- 1. Stabilität nach Ljapunov.- 2. Asymptotische Stabilität.- 3. Ein Satz über die Stabilität in erster Näherung.- 4. Beweis des Satzes.- § 24. Der Fall rein imaginärer Eigenwerte.- 1. Topologische Klassifikation.- 2. Ein Beispiel.- 3. Die Phasenkurven von (4) auf dem Torus.- 4. Folgerungen.- 5. Der mehrdimensionale Fall.- 6. Die gleichmäßige Verteilung.- § 25. Der Fall mehrfacher Eigenwerte.- 1. Die Berechnung von eAt für einen Jordanblock A.- 2. Anwendungen.- 3. Anwendungen auf Systeme höherer Ordnung.- 4. Der Fall einer Gleichung n-ter Ordnung.- 5. Rekursive Folgen.- 6. Kleine Schwingungen.- § 26. Quasipolynome.- 1. Ein Funktionenvektorraum.- 2. Der Vektorraum der Lösungen einer linearen Gleichungen.- 3. Invarianz bezüglich Verschiebungen.- 4. Eine historische Bemerkung.- 5. Inhomogene Gleichungen.- 6. Die Methode der komplexen Amplituden.- 7. Anwendung zur Berechnung schwach nichtlinearer Schwingungen.- § 27. Lineare nichtautonome Gleichungen.- 1. Definition.- 2. Existenz von Lösungen.- 3. Der Vektorraum der Lösungen.- 4. Die Wronskische Determinante.- 5. Der Fall einer einzigen Gleichung.- 6. Der Satz von Liouville.- 7. Die Sturmschen Sätze über die Nullstellen der Lösungen einer Gleichung zweiter Ordnung.- § 28. Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 1. Die Abbildung nach einer Periode.- 2. Stabilitätskriterien.- 3. Stark stabile Systeme.- 4. Rechnungen.- § 29. Variation der Konstanten.- 1. Der einfachste Fall.- 2. Der allgemeine Fall.- 3. Rechnungen.- 4. Beweise der grundlegenden Sätze.- § 30. Kontrahierende Abbildungen.- 1. Definition.- 2. Satz über kontrahierende Abbildungen.- 3. Bemerkung.- § 31. Beweis des Existenzsatzes und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- 1. Sukzessive Approximationen nach Picard.- 2. Vorbereitende Abschätzungen.- 3. Die Lipschitzbedingung.- 4. Differenzierbarkeit und Lipschitzbedingung.- 5. Die Größen C, L, a?, b?.- 6. Der metrische Raum M.- 7. Die kontrahierende Abbildung A : M ? M.- 8. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 9. Weitere Anwendungen kontrahierender Abbildungen.- § 32. Der Differenzierbarkeitsatz.- 1. Die Variationsgleichung.- 2. Der Satz von der Differenzierbarkeit.- 3. Höhere Ableitungen nach x.- 4. Ableitungen nach x und t.- 5. Der Rektifizierungssatz.- 6. Die höchste Ableitung.- 5. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.- § 33. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 1. Beispiele für Mannigfaltigkeiten.- 2. Definitionen.- 3. Beispiele für Atlanten.- 4. Kompaktheit.- 5. Zusammenhang und Dimension.- 6. Differenzierbare Abbildungen.- 7. Bemerkung.- 8. Untermannigfaltigkeiten.- 9. Beispiel.- § 34. Tangentialbündel. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten.- 1. Der Tangentialraum.- 2. Tangentialbündel.- 3. Bemerkungen zur Parallelisierbarkeit.- 4. Tangentialabbildungen.- 5. Vektorfelder.- § 35. Der durch ein Vektorfeld definierte Phasenfluß.- 1. Ein Satz.- 2. Konstruktion der Diffeomorphismen gt für kleine t.- 3. Konstruktion von gt für beliebige t.- 4. Bemerkung.- § 36. Der Index singulärer Punkte eines Vektorfeldes.- 1. Der Index einer Kurve.- 2. Eigenschaften des Index.- 3. Beispiele.- 4. Der Index eines singulären Punktes des Vektorfeldes.- 5. Satz von der Indexsumme.- 6. Die Indexsumme singulärer Punkte auf der Sphäre.- 7. Exakte Grundlagen.- 8. Der mehrdimensionale Fall.- Prüfungsprogramm.- Beispiele für Prüfungsaufgaben.